Symbolic Computation of an Arbitrary-Order Resonance Condition in a Hamiltonian System
https://doi.org/10.15514/ISPRAS-2023-35(4)-12
Abstract
The study of formal stability of equilibrium positions of a multiparametric Hamiltonian system in a generic case is traditionally carried out using its normal form under the condition of the absence of resonances of small orders. In this paper we propose a method of symbolic computation of the condition of existence of a resonance of arbitrary order for a system with three degrees of freedom. It is shown that this condition for each resonant vector can be represented as a rational algebraic curve. By methods of computer algebra the rational parametrization of this curve for the case of an arbitrary resonance is obtained. A model example of some two-parameter system of pendulum type is considered.
Supporting agencies: Authors express their gratitude to Professor A.D. Bruno for comments and useful discussions.
About the Authors
Alexander Borisovich BATKHIN
Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences,
Moscow Institute of Physics and Technology
Russian Federation
Russian Federation
Zafar Khaydar ugli KHAYDAROV
Sharof Rashidov Samarkand State University
Uzbekistan
Uzbekistan
References
1. Moser J.K. New aspects in the theory of stability of hamiltonian systems. В Comm. Pure Appl. Math. Том 11 из номер 1, страницы 81—114, 1958.
2. Батхин А.Б., Хайдаров З.Х. Сильные резонансы в нелинейной системе Гамильтона. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, (59): 1—28, 2022. DOI: https://doi.org/10.20948/prepr-2022-59.
3. Батхин А.Б., Хайдаров З.Х. Зигель К., Мозер Ю. Лекции по небесной механике. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»: 384, 2001.
4. Батхин А.Б., Брюно А.Д., Варин В.П. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых систем. В Прикладная математика и механика, том 76 из номер 1, страницы 80—133, 2012.
5. Калинина Е. А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. НИИ химии СПбГУ, СПб, 2002.
6. Basu S., Rollack R., Roy M.F. Algorithms in real algebraic geometry. Algorithms and Computations in Mathematics 10, 2006.
7. Брюно А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений (II). В страницы 199—239, 1972.
8. Брюно А. Д. Ограниченная задача трех тел: Плоские периодические орбиты. Наука, 1990.
9. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. Изд. дом «Удмуртский университет», Ижевск, 1999.
10. Bruno A.D. Survey of eight modern methods of Hamiltonian mechanics. В том 10 из номер 4, 2021. DOI: https://doi.org/10.3390/axioms10040293.
11. Брюно А. Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона. В Мат. заметки, том 1 из номер 3, страницы 325—330, 1967.
12. Журавлев В. Ф., Петров А. Г., Шундерюк М.М. Избранные задачи гамильтоновой механики. ЛЕНАНД, 2015.
13. Батхин А. Б., Хайдаров З.Х. Вычисление условия сильного резонанса в системе Гамильтона. В ЖВМиМФ, том 63 из номер 5, страницы 697—714, 2023. DOI: 10.31857/S0044466923050071.
14. Брюно А. Д., Азимов А.А. Вычисление унимодулярных матриц степенных преобразований. В Программирование, том 49 из номер 1, страницы 38—47, 2023. DOI: 10.31857/S013234742301003X.
15. Batkhin A. B., Khaidarov Z. K. Trudy ISP RAN/Proc. ISP RAS, 2023, vol. 35, issue 4, pp. 197–218
16.
17. Батхин А. Б. Резонансное множество многочлена и проблема формальной устойчивости. В Вестник ВолГУ. Серия 1. Математика. Физика, том 35 из номер 4,
18. страницы 5—23, 2016. DOI: https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2016.4.1.
19. Батхин А. Б. Параметризация множества, определяемого обобщенным дискриминантом многочлена. В Программирование, страницы 5—17, 2018.
20. Маркеев А. П. О движении связанных маятников. В Нелинейная динамика, том 9 из номер 1, страницы 27—38, 2013.
Review
For citations:
BATKHIN A.B., KHAYDAROV Z.Kh. Symbolic Computation of an Arbitrary-Order Resonance Condition in a Hamiltonian System. Proceedings of the Institute for System Programming of the RAS (Proceedings of ISP RAS). 2023;35(4):197-218. (In Russ.) https://doi.org/10.15514/ISPRAS-2023-35(4)-12
Email this article 