Исследование электровихревого течения между плоскостями с помощью различных вычислительных подходов

Электровихревые течения возникают при прохождении электрического тока меняющейся плотности через хорошо проводящую жидкость (например, кислоту или расплав металла). В таком случае ток порождает магнитное поле, которое приводит к возникновению электромагнитной силы, вызывающей закрученные течения среды. Существуют разные методы теоретического исследования подобных течений. Как правило, чтобы избежать необходимости находить зависимость давления от координат, используются переменные «векторный потенциал скорости – завихренность» («скалярная функция тока – завихренность» в случае осесимметричных течений). В таком случае достаточно эффективно использование автомодельных переменных, позволяющих понизить размерность задачи. Это дает возможность искать решение для введенной функции в виде разложения по параметру электровихревого течения, пропорционального квадрату магнитного числа Рейнольдса. Также данное решение может быть получено численно, например с помощью конечно-разностных методов. В настоящее время все чаще решения исследуются методами прямого численного моделирования, когда не делается автомодельных приближений, снижающих точность решения. Тем не менее, в таком случае объем вычислений может оказаться достаточно большим и требует использования суперкомпьютерных ресурсов. Отдельную сложность представляют граничные условия: так, для векторного потенциала скорости получается уравнение четвертого порядка, что накладывает существенные ограничения на шаги по времени в эволюционном уравнении. Проблемы можно избежать, используя приближенные граничные условия, однако это вновь снижает точность решения. В настоящей работе на примере электровихревого течения между плоскостями рассмотрены решения, которые можно получить с использованием различных вычислительных подходов, указанных выше. Проводится сравнение полученных результатов, также они сравниваются с аналитическими приближениями.

1. Гельфгат Ю.М., Лиелаусис О.А., Щербинин Э.В. Жидкий металл под действием электромагнитных сил. – Рига: Зинатне, 1975

2. Pavlovs S., Jakovics A., Baake E., Nacke B. Melt flow patterns in metallurgical MHD devices with combined inductive and conductive power supply, Magnetohydrodynamics, 50 (2014), 303–315

3. Бояревич В.В., Фрейберг Я.Ж., Шилова Е.И., Щербинин Э.В. Электровихревые течения. Рига: Зинатне, 1985.

4. Мандрыкин, С.Д., Колесниченко, И.В., Лосев, Г.Л., Фрик, П.Г. Электровихревое течение жидкого металла в цилиндрическом канале / С.Д. Мандрыкин, И.В. Колесниченко, Г.Л. Лосев, П.Г. Фрик. // Вестник Пермского университета. Физика. – Вып.2 (40). – С.20 – 26.

5. Ивочкин, Ю.П., Тепляков, И.О., Гусева, А.А., Токарев, Ю.Н. Численное и экспериментальное исследование структуры закрученного электровихревого течения / Ю.П. Ивочкин, И.О. Тепляков, А.А. Гусева, Ю.Н. Токарев // Тепловые процессы в технике, 2012. – 8. – С.345 – 352.

6. Sozou, C., Pickering, W.M. Magnetohydrodynamic flow in a container due to the discharge of an electric current in a hemispherical container / C.Sozou, W.M.Pickering // Journal of Fluid Mechanics, 1976. – V.73. – P.641 – 650

7. Kharicha, A., Karimi-Sibaki, E., Wu, M., Ludwig, A. Bohacek Review on Modeling and Simulation of Electroslag Remelting / A.Kharicha, E.Karimi-Sibaki, M.Wu, A.Ludwig, J.: Steel Res. Int., 2018. – V.89 - 1700100.

8. Liu, K. Numerical and experimental investigation of electro-vortex flow in a cylindrical container / K. Liu, F. Stefani, N. Weber, T. Weier, B.W. Li // Magnetohydrodynamics. 2020. Vol. 56. No. 1.

9. Weinan, E., Liu, J.G. Vorticity Boundary Condition and Related Issues for Finite Difference Schemes / E. Weinan, J.G. Liu // Journal of Computational Physics, 1996. – V.124.

10. Kaudze M., Chudnovsky A. Axisymmetric electrovortex flow between two planes induced by AC, Magnetohydrodynamics, 25 (1989), 187–194 Zentralblatt MATH.

11. Bojarevich V., Saramkin V. MHD flows due to electrical current discharge in an axisymmetric layer of limited depth, Magnetohydrodynamics, 13 (1977), 172–177.

12. Михайлов, Е.А., Чудновский, А.Ю. Асимптотическое разложение решения уравнения для медленного осесимметричного электровихревого течения между двумя плоскостями / Михайлов Е.А., Чудновский А.Ю. // Сибирский журнал индустриальной математики, 2020. – Т.23. – С.88 – 100.

13. Михайлов Е.А., Степанова А.П., Таранюк А.А. Анализ и модель системы электровихревых течений между двумя плоскостями при больших токах Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева, 2022, 1. С.32-42.

14. Смирнов Е.М. Автомодельные решения уравнений Навье-Стокса для закрученного течения несжимаемой жидкости в круглой трубе // Прикладная математика и механика, 1981, 45, с.833 – 839

15. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

16. Калиткин Н.Н., Белов А.А. Аналог метода Ричардсона для логарифмически сходящегося счета на установление // Доклады Академии наук, 2013, 452, с.261 – 265.

17. Mikhailov E.A., Teplyakov I.O. Construction asymptotic solution while studying electrovortex flow in hemispherical container usung Stokes approximation // Journal of Physics: Conference Series, 2017, 891, 012060.

18. Vl. Voevodin, A. Antonov, D. Nikitenko, P. Shvets, S. Sobolev, I. Sidorov, K. Stefanov, Vad. Voevodin, S. Zhumatiy: Supercomputer Lomonosov-2: Large Scale, Deep Monitoring and Fine Analytics for the User Community. In Journal: Supercomputing Frontiers and Innovations, Vol.6, No.2 (2019). pp.4–11. DOI:10.14529/jsfi190201

19. https://github.com/Azilrib/EVT_Planes.