Численный поиск собственных значений для анализа возбуждений поля в одной задаче магнитной гидродинамики

Магнитогидродинамические процессы играют важнейшую роль в большом количестве физических явлений и технических процессов, связанных с течениями проводящих жидкостей. Большое значение для астрофизики имеет возбуждение магнитного поля за счет свойств турбулентных движений – так называемый механизм динамо. Как правило, он описывается с помощью усреднения уравнений магнитной гидродинамики и введения альфа-эффекта. Возможность генерации магнитного поля в таком случае определяется нарастанием его малых возмущений со временем. Рост или затухание магнитного поля определяется знаком действительных частей его собственных значений (или знаком в случае, если они действительны). Одной из самых интересных задач является возможность возбуждения магнитного поля в диске. Подобная модель хорошо определяет поведение магнитного поля в галактиках и в аккреционных дисках, которые окружают компактные астрофизические объекты (черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды). В простейшем случае диска пренебрежимо малой толщины задача на собственные значения может иметь даже аналитическое решение. Вместе с тем, если говорить о дисках конечной толщины, это приводит к возможности решения задачи только с использованием асимптотических приближений. Если же диск расширяется к краям (что весьма характерно как для галактик, так и для аккреционных дисков), то решить эту задачу возможно, по-видимому, лишь численно. В настоящей работе представлены результаты численного поиска собственных значений для возбуждения магнитного поля в расширяющемся диске. С этой целью дифференциальный оператор заменяется конечно-разностным, а его собственные значения ищутся с помощью обратного степенного метода. В таком случае задачу можно решать с использованием метода немонотонной прогонки. Представлены старшие собственные значения и собственные функции для различных моделей расширения диска.

1. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М., Логос, 324 с. / Kulikovsky A.G., Lyubimov G.A. Magnetohydrodynamics. Moscow, Logos, 2011, 324 p. (in Russian).

2. Брановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамка несжимаемых сред. М., Наука, 1970, 377 с. / Branover G.G., Tsinober A.B. Magnetohydrodynamics of imcompressible media. Moscow, Nauka, 1970, 377 p. (in Russian).

3. Krause F., Rädler K.-H. Mean-Field Magnetohydrodynamics and Dynamo Theory. Oxford, Pergamon Press, 1980, 271 p.

4. Кабаков З., Самойлович Ю., Габелая Д., Подорванов А., Шифман Э. Теория и практика применения электрических и магнитных воздействий при непрерывной разливке стали. М., Вологда, Инфра-Инженерия, 2021, 164 с. / Kabakov Z., Samoylovich Yu., Gabelaya D., Podorvanov A., Shifman E. Theory and practice of applying electric and magnetic influences during continuous casting of steel. Moscow, Vologda, Infra-Engineering, 2021, 164 p. (in Russian).

5. Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Магнитные поля в астрофизике. М., Ижевск, Регулярная и хаотическая динамика, 2006, 384 с. / Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. Magnetic fields in astrophysics. Moscow, Izhevsk, Regular and Chaotic Dynamics, 2006, 384 p. (in Russian).

6. Parker E.N. Hydromagnetic Dynamo Models. Astrophysical Journal, 1955, vol. 122, pp. 293-314. DOI: 10.1086/146087.

7. Elsasser, W.M. Hydromagnetism. I. A Review. American Journal of Physics, 1955, vol. 23, pp. 590-609. DOI: 10.1119/1.1934109.

8. Beck R., Brandenburg A., Moss D., Shukurov A., Sokoloff D. Galactic Magnetism: Recent Developments and Perspectives. Ann. Rev. Astron. Astrophys., 1996, vol. 34, pp.155-206. DOI: 10.1146/annurev.astro.34.1.155

9. Boneva D.V., Mikhailov E.A., Pashentseva M.V., Sokoloff D.D. Magnetic fields in the accretion disks for various inner boundary conditions. Astron. Astrophys., 2021, vol. 652, A38. DOI: 10.1051/0004-6361/202038680.

10. Mikhailov E., Pashentseva M. Eigenvalue Problem for a Reduced Dynamo Model in Thick Astrophysical Discs. Mathematics, 2023, vol. 11, 3106. DOI: 10.3390/math11143106.

11. Михайлов Е.А., Пашенцева М.В. Задача на собственные значения для динамо в толстом диске и порог генерации магнитного поля. Вестник Московского университета. Серия 3: Физика, астрономия, 2022, вып. 5, стр. 65-69. / Mikhailov E.A., Pashentseva M.V. The Eigenvalue Problem for a Dynamo in a Thick Disk and the Threshold of Magnetic Field Generation. Moscow University Physics Bulletin, 2022, vol. 77, no. 5. pp. 741-746. DOI: 10.3103/S0027134922050101.

12. Калиткин Н.Н. Численные методы: учебное пособие. СПб.: БХВ-Петербург, 2011, 592 с. / Kalitkin N.N. Numerical methods: textbook. Saint-Petersburg, BHV-Petersburg, 2011, 592 p. (in Russian).

13. Маркова Л.В., Корчевская Е.А. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Витебск, ВГУ имени П.М. Машерова, 2011, 50 с. / Markova L.V., Korchevskaya E.A. Numerical methods of solution of systems of linear algebraic equations. Vitebsk, Masherov VGU, 2011, 50 p. (in Russian).

14. Arshakian T.G., Beck R., Krause M., Sokoloff D. Evolution of magnetic fields in galaxies and future observational tests with the Square Kilometre Array. Astron. Astrophys., 2009, vol. 494, pp.21-32. DOI: 10.1051/0004-6361:200810964.

15. Фролова М.В., Михайлов Е.А., Тихонов Ю.А. Разрешимость одной эволюционной задачи магнитной гидродинамики и оценка скорости роста его решения. XIV Белорусская математическая конференция, посвященная 65-летию Института математики НАН Беларуси: материалы Международной научной конференции, Минск, 28 октября – 1 ноября 2024 r. Т. 2. Минск: Белоруская навука, 2024, стр. 103–104 / Frolova M.V., Mikhailov E.A., Tikhonov Yu.A. Solvability of one evolutionary problem of magnetohydrodynamics and estimate of velocity of its growth. XIV Belorussian mathematical conference, Minsk, 28 October – 1 November 2024. Book 2., Minsk, Belorussian Science, 2024, pp.103-104.

16. Поиск собственных значений и функций расширяющегося диска. Доступно по ссылке: https://github.com/pashentsevamary/science/tree/main, обращение 30.03.2026.