Применение параллельных алгоритмов при численном моделировании кровотока в квазиодномерном приближении

Главной целью современного гемодинамического моделирования является предсказание поведения давления крови в артериях, а также изучение комплексного воздействия разнообразных факторов на характеристики сердечно-сосудистой системы. Наиболее популярными при этом являются квазиодномерные модели течения крови по сосудам, позволяющие моделировать кровоток во всей сосудистой системе. Поскольку полномасштабное моделирование сердечно-сосудистой системы требует больших вычислительных затрат, актуальной является задача распараллеливания вычислений. В данной работе проведено исследование эффективности распараллеливания вычислений при численном моделировании кровотока в квазиодномерном приближении. Для простоты рассмотрена задача о моделировании течения крови в отдельном кровеносном сосуде. При построении параллельного алгоритма был применен метод декомпозиции области. В каждой подобласти задача на каждом шаге по времени расщепляется на гиперболическую и параболическую подзадачи. Для решения гиперболической подзадачи используется интегро-интерполяционный метод, основанный на схеме MUSCL. Для интегрирования по времени применяются методы Рунге-Кутты и Адамса-Башфорта второго порядка. Для решения параболической подзадачи используется метод Кранка-Николсона. На стыках подобластей интерфейсные условия образуют нелинейные системы с тремя неизвестными. Эти системы решаются при помощи метода Ньютона. С помощью профилировщика AMD CodeAnalyst была определена структура временных затрат при решении тестовой задачи в последовательном режиме. При помощи закона Амдала получены оценки максимально возможного ускорения при распараллеливании наиболее дорогостоящих с вычислительной точки зрения операций. При реализации полученного алгоритма в разработанном авторами настоящей работы программном комплексе использовались технология OpenMP и библиотека MPI. Расчеты проводились на учебно-вычислительном кластере кафедры ФН-2 «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Результаты вычислительных экспериментов показали, что выигрыш по времени, достигаемый за счет использования библиотеки MPI, не превышает нескольких процентов по сравнению с применением технологии OpenMP. В связи с этим, принимая во внимания простоту распараллеливания алгоритмов посредством OpenMP, можно остановить выбор на данной технологии, однако использование MPI позволяет сделать программный комплекс универсальным -работающим как на системах с общей памятью, так и на системах с распределенной памятью.

технология OpenMP, MPI, квазиодномерная модель, кровоток, метод декомпозиции области, параллельный алгоритм, кластер, метод MUSCL, расщепление Годунова

1. Quarteroni A., Formaggia L. Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System. Handbook on numerical analysis, Ed. By P. G. Ciarlet, J. L. Lions. Amsterdam: Elsevier, 2004, 101 p. DOI: 10.1016/S1570-8659(03)12001-7

2. Quarteroni A., Formaggia L., Veneziani A. Cardiovascular Mathematics: Modeling and Simulation of the Circulatory System. Milano: Springer, 2011, 526 p.

3. Goals – euHeart. URL: https http://www.euheart.eu/index_id_27.html (дата обращения: 09.05.2018).

4. Formaggia L., Lamponi D., Quarteroni A. One dimensional models for blood flow in arteries. Journal of Engineering Mathematics, vol. 47, 2003, pp. 251-276. DOI: 10.1023/B:ENGI.0000007980.01347.29.

5. Azer K., Peskin C. S. A one-dimensional model of blood flow in arteries with friction and convection based on the Womersley velocity profile. Cardiovasc. Eng., vol. 7, 2007, pp. 51–73. DOI: 10.1007/s10558-007-9031-y

6. Sherwin S. J., Franke V., Peiro J., Parker K. One-dimensional modeling of vascular network in space-time variables. Journal of Engineering Mathematics. vol. 47, 2003, pp. 217–250. DOI: 10.1023/B:ENGI.0000007979.32871.e2

7. Wang X., Delestre O., Fullana J.-M., Saito M., Ikenaga Y., Matsukawa M., Lagree P.-Y. Comparing different numerical methods for solving arterial 1D flows in networks. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., vol. 15, 2012, pp. 61–62. DOI: 10.1080/10255842.2012.713677

8. Wang X., Fullana J.-M., Lagrée P.-Y. Verification and comparison of four numerical schemes for a 1D viscoelastic blood flow model. Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, 2014, pp.1-22. DOI: 10.1080/10255842.2014.948428

9. Аветисян А.И., Бабкова В.В., Гайсарян С.С., Губарь А.Ю. Разработка параллельного программного обеспечения для решения трехмерной задачи о рождении торнадо по теории Николаевского. Матем. моделирование, том. 20, № 8, . 2008 г., стр. 28–40.

10. Марчевский И.К., Токарева С.А. Сравнение эффективности параллельных алгоритмов решения задач газовой динамики на разных вычислительных комплексах. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия "Естественные науки", № 1 2009 г., стр. 90–97.

11. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Применение параллельных алгоритмов при решении задач гидродинамики методом вихревых элементов. Вычислительные методы и программирование, том 11, стр. 105–110.

12. Морева В.С. Способы ускорения вычислений при решении плоских задач аэродинамики методов вихревых элементов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия "Естественные науки", № S, 2011 г., стр. 83–95.

13. Лукин В.В., Марчевский И.К., Морева В.С., Попов А.Ю., Шаповалов К.Л., Щеглов Г.А. Учебно-экспериментальный вычислительный кластер. Ч. 2. Примеры решения задач. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия "Естественные науки". 2012. № 4. С. 82–102.

14. Марчевский И.К., Пузикова В.В. Исследование эффективности распараллеливания вычислений при моделировании течений вязкой несжимаемой среды методом LS-STAG на системах с общей памятью. Вычислительные методы и программирование, том 16, 2015 г., стр. 595–606.

15. Пузикова В.В. Реализация параллельных вычислений в программном комплексе «LS-STAG_turb» для моделирования течений вязкой несжимаемой среды на системах с общей памятью. Труды ИСП РАН, том 28, вып. 1, 2016 г., стр. 221-242. DOI: 10.15514/ISPRAS-2016-28(1)-13

16. MPICH Overview | MPICH. URL: https://www.mpich.org/about/overview/ (дата обращения: 09.05.2018).

17. Avetisyan A.I., Gaisaryan S.S., Ivannikov V.P., Padaryan V.A. Productivity prediction of MPI programs based on models. Autom. Remote Control., vol. 68, 2007, pp. 750-759. DOI: 10.1134/S0005117907050037

18. Intel (R) Cillk (TM) Plus | Intel® Software. URL: https://software.intel.com/ru-ru/node/522579 (дата обращения 09.05.2018).

19. Reinders J. Intel Threading Building Blocks: Outfitting C++ for Multi-Core Processor Parallelism. Sebastopol: O'Reilly, 2007, 336 p.

20. OpenMP FAQ – OpenMP. URL: https://www.openmp.org/about/openmp-faq/ (дата обращения: 09.05.2018).

21. Quarteroni A., Valli A. Domain decomposition methods for partial differential equations. Oxford: Clarendon Press, 1999, 360 p.

22. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Изд-во "Наука'', 1976. 400 с.

23. Drongowski P., Lei Yu, Swehosky F., Suthikulpanit S., Richter R., Incorporating Instruction-Based Sampling into AMD CodeAnalyst. 2010 IEEE International Symposium on Performance Analysis of Systems & Software (ISPASS 2010), White Plains, NY, 2010, pp. 119-120. DOI: 10.1109/ISPASS.2010.5452049.

24. Гергель В.П. Высокопроизводительные вычисления для многопроцессорных многоядерных систем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2010, 544 с.

25. Лукин В.В., Марчевский И.К. Учебно-экспериментальный вычислительный кластер. Ч.1. Инструментарий и возможности. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки», № 4, 2011 г., стр. 28–43.