Анализ эффективности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, реализованных в пакете OpenFOAM

Для выбора оптимального в смысле вычислительной эффективности итерационного метода решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных, помимо скорости сходимости следует учитывать такие характеристики системы и метода, как число обусловленности, коэффициент сглаживания, показатель «затратности». Последние две характеристики вычисляются по коэффициентам усиления гармоник, которые позволяют судить о сглаживающих свойствах итерационного метода и его «затратности», т.е. о том, насколько медленнее метод подавляет низкочастотные компоненты ошибки по сравнению с высокочастотными. Предложен способ определения коэффициентов усиления гармоник, основанный на использовании дискретного преобразования Фурье. В качестве примера приведён анализ эффективности метода BiCGStab c ILU и многосеточным предобуславливанием при решении разностных аналогов уравнений Гельмгольца и Пуассона, возникающих при моделировании течения вязкой несжимаемой жидкости в квадратной каверне

Разреженные линейные системы, предобуславливание, сглаживатели, коэффициенты усиления гармоник, многосеточные методы

1. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. N.Y.: PWS Publ., 1996. 547 p.

2. OpenFOAM // The OpenFOAM Foundation. URL: http://www.openfoam.org (дата обращения: 30.04.2013).

3. Van der Vorst H.A. Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of Bi-CG for solution of non-symmetric linear systems// SIAM J. Sci. Stat. Comp. 1992. № 2. P. 631-644.

4. Wesseling P. An introduction to multigrid methods. Chichester: John Willey & Sons Ltd., 1991. 284 p.

5. The OpenFOAM® Extend Project. URL: http://www.extend-project.de (дата обращения: 30.04.2013).

6. Cheny Y., Botella O. The LS-STAG method: A new immersed boundary/level-set method for the computation of incompressible viscous flows in complex moving geometries with good conservation properties // J. Comput. Phys. 2010. № 229. P. 1043-1076.

7. Пузикова В.В. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом BiCGStab с предобуславливанием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2011. Спец. выпуск «Прикладная математика». С. 124-133.

8. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2002. 608 с.

9. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1994. 528 с.

10. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 590 с.

11. Ольшанский М.А. Лекции и упражнения по многосеточным методам. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003. 163 с.

12. Van Kan J., Vuik C., Wesseling P. Fast pressure calculation for 2D and 3D time dependent incompressible flow // Numer. Linear Algebra Appl. 2000. № 7. P. 429-447.