Использование метода декомпозиции области для распараллеливания моделирования течения вязкой несжимаемой среды методом LS-STAG и дополнительного предобуславливания

В ходе численного решения задач механики сплошной среды основная часть вычислительных затрат, как правило, приходится на решение больших разреженных систем линейных алгебраических уравнений. По этой причине эффективное распараллеливание именно этой процедуры может значительно ускорить моделирование. Наиболее простой подход к решению этой задачи, заключающийся в распараллеливании матрично-векторных операций в обычном итерационном решателе, требует нескольких точек синхронизации и обменов коэффициентами на каждой итерации метода, что не позволяет значительно ускорить расчет в целом. Поэтому предпочтительнее оказываются методы декомпозиции области, которые подразумевают разбиение расчетной области на подобласти, построение и решение отдельных задач в них, а также некоторую процедуру согласования решения между подобластями для обеспечения глобальной сходимости. Подобласти могут перекрываться, как в методе Шварца, использующемся в OpenFOAM, или разделяться интерфейсными участками, для которых решается своя собственная интерфейсная задача, как в методе дополнения Шура. Последний метод используется в данной работе для построения параллельного алгоритма моделирования течений вязкой несжимаемой среды методом погруженных границ LS-STAG. Полученная матрица интерфейсной системы имеет блочную трехдиагональную структуру. Для ускорения прототипирования в программной реализации разработанного алгоритма использована технология параллельного программирования OpenMP, поэтому вычислительные эксперименты проводятся только на системах с общей памятью, в частности на отдельных узлах учебно-экспериментального кластера кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н. Э. Баумана. Для верификации и оценки эффективности разработанного алгоритма рассмотрена хорошо исследованная тестовая задача о моделировании плоского обтекания неподвижного кругового профиля. Расчеты на последовательности сеток при их разделении на разное количество подобластей показывают, что параллельный алгоритм сходится к тому же решению, что и исходный алгоритм, а рассчитанные значения числа Струхаля и коэффициента лобового сопротивления хорошо согласуются с известными в литературе экспериментальными и расчетными данными. Эксперименты демонстрируют, что разработанный алгоритм с декомпозицией области позволяет ускорить моделирование даже в последовательном режиме за счет уменьшения количества итераций, то есть метод декомпозиции области действует как дополнительный предобуславливатель. Благодаря этому свойству при расчетах в параллельном режиме ускорение оказывается сверхлинейным до некоторого числа подобластей, зависящего от размера задачи.

1. Saad Y., Iterative Methods for Sparse Linear Systems. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003. 184 p.

2. Cools S., Vanroose W. The communication-hiding pipelined BiCGstab method for the parallel solution of large unsymmetric linear systems. Parallel Computing, 2017, vol. 65, pp. 1-20. DOI: 10.1016/j.parco.2017.04.005

3. Quarteroni A., Valli A. Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations. Oxford, 1999. 376 p.

4. OpenFOAM: API Guide: OpenFOAM®: Open source CFD: API, Available at: https://www.openfoam.com/documentation/guides/latest/api/index.html, accessed 23.10.2023.

5. Scotch: a software package for graph and mesh/hypergraph partitioning, graph clustering, and sparse matrix ordering, Available at: https://gitlab.inria.fr/scotch/scotch, accessed 23.10.2023.

6. METIS, Available at: https://github.com/KarypisLab/METIS, accessed 23.10.2023.

7. Mittal R., Iaccarino G. Immersed boundary methods. Annu. Rev. Fluid Mech, 2005, vol. 37, pp. 239–261. DOI: 10.1146/annurev.fluid.37.061903.175743

8. Osher S. J., Fedkiw R. Level set methods and dynamic implicit surfaces. Springer, 2003. 286 p.

9. Cheny Y., Botella O. The LS-STAG method: A new immersed boundary/level-set method for the computation of incompressible viscous flows in complex moving geometries with good conservation properties. J. Comput. Phys., 2010, vol. 229, pp. 1043-1076. DOI: 10.1016/j.jcp.2009.10.007

10. Nikfarjam F., Cheny Y., Botella O. The LS-STAG immersed boundary / cut-cell method for non-Newtonian flows in 3D extruded geometries. Comp. Phys. Comm., 2018, vol. 226, pp. 67-80. DOI: 10.1016/j.cpc.2018.01.006

11. Marchevsky I.K., Puzikova V.V. Modification of the LS-STAG immersed boundary method for simulating turbulent flows. Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Natural Sciences, 2017, № 5, pp. 19-34. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-5-19-34

12. Marchevsky I.K., Puzikova V.V. The modified LS-STAG method application for planar viscoelastic flow computation in a 4:1 contraction channel. Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Natural Sciences, 2021, № 3, pp. 46-63. DOI: 10.18698/1812-3368-2021-3-46-63

13. Pacull F., Garbey M. A parallel immersed boundary method for blood-like suspension flow simulations. Lect. Notes in Comp. Sci. and Eng., 2010, vol. 74, pp. 1-8. DOI: 10.1007/978-3-642-14438-7_16

14. Wiens J. K., Stockie J. M. An efficient parallel immersed boundary algorithm using a pseudo-compressible fluid solver. J. Comp. Phys., 2015, vol. 281, pp. 917-941. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.10.058

15. Пузикова В. В. Параллельный программный комплекс LS-STAG_DDM для моделирования методом LS-STAG с декомпозицией области; свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2023665707, зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 19.07.23 / Puzikova V. V. Parallel software package LS-STAG_DDM for simulation by using the LS-STAG method with domain decomposition; Certificate of state registration of a computer program No. 2023665707, registered in the Register of Computer Programs on 07/19/23 (in Russian).

16. Wesseling P. An introduction to multigrid methods. John Willey & Sons Ltd., 1991. 296 p.

17. Rajani B. N., Kandasamy A., Majumdar S. Numerical simulation of laminar flow past a circular cylinder. Applied Mathematical Modeling, 2009, vol. 33, pp. 1228-1247. DOI: 10.1016/j.apm.2008.01.017

18. Qu L., Norberg C., Davidson L., Peng S.-H., Wang F. Quantitative numerical analysis of flow past a circular cylinder at Reynolds number between 50 and 200. J. Fluids Struct., 2013, vol. 39, pp. 347-370. DOI: 10.1016/j.jfluidstructs.2013.02.007

19. Williamson C. H. K. Vortex dynamics in the cylinder wake. Annu. Rev. Fluid. Mech., 1996, vol. 28, pp. 477-539. DOI: 10.1146/annurev.fl.28.010196.002401

20. Wieselberger C. New data on the laws of fluid resistance.Technical Notes. National Advisory Committee for Aeronautics, 1923, № 84, pp. 1-16.